一道北京竞赛题详解

辣炒豆腐皮 · 发表于 2022-1-2 09:12

今日偶见一道北京市竞赛题，心血来潮，详解如下：

题：若正整数m，n满足于方程m2+84m+2016=n2，求m3+n2。

对于这种题，一个方程解两个未知数，肯定不太好解，需要利用好题中的条件。具体步骤如下：

m2+84m+2016=n2

m2+84m+422=n2 -252

(m+42)2 =n2 -252

也就是n2 - (m+42)2=252

看到这里，就可以看到解开题的曙光了，

平方差公式因式分解，(n+m+42)(n-m-42)=252

由于n，m都是正整数，所以 n+m+42（记为①式）和n-m-42（记为②式）肯定都是整数。

而252可以分解为，252=1×2×2×7×9。

乍一看，①式和②式有很多组合（还有两个负数相乘也可以），这里需要先作一个判断，由于n、m都是正整数，所以①式肯定大于0，所以②式也大于0，所以n-m-42＞0，n大于42，也就是n+m+42大于84.

所以可能有2种组合（ n+m+42=63×2，n-m-42=2）和（ n+m+42=63×2×2，n-m-42=1）

解得第一种组合n=64，m=20，第二种组合n非整数，舍去。

m3+n2 =203 +642 =8000+4096=12096。

想法回顾：对于一个方程求解两个未知数的题，初高中阶段可利用非负性（两个绝对值，根式等非负数的和等于0），或者类似于本题的构建成一个已知数等于两个未知方程的乘积，分类讨论，分类中，要提前舍去不符合条件的类，可以节省很多时间，即可求解。

朝花夕诗 · 发表于 2022-1-2 14:38

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